Question

如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH.试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH的形状会有哪些变化？完成以下题目：

  （1）当ABCD为任意四边形时，EFGH为________________；

  当ABCD为矩形时，EFGH为________________；

  当ABCD为菱形时，EFGH为________________；

  当ABCD为正方形时，EFGH为________________；

  当EFGH是矩形时，ABCD为________________；

  当EFGH是菱形时，ABCD为________________；

  当EFGH是正方形时，ABCD为________________.

  （2）请选择（1）中任意一个你所写的结论进行证明.

   （3）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？

Answer

（1）平行四边形；菱形；矩形；正方形；对角线垂直的四边形；对角线相等的四边形；对角线相等且垂直的四边形. （2）见解析（3）当平行四边形EFGH是矩形时，四边形ABCD必须满足：对角线互相垂直．  

当平行四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD必须满足：对角线相等

【解析】（1）平行四边形；菱形；矩形；正方形；对角线垂直的四边形；对角线相等的四边形；对角线相等且垂直的四边形.（2分）

  （2）结合图形，联想特殊四边形的特征及识别很容易发现，其中的桥梁为AC、BD.

  证明：①当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形

  ∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，

  ∴四边形EFGH为平行四边形.

  证②：若ABCD为矩形，则EFGH为菱形.

  ∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，

  ∴四边形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均为平行四边形，

  ∴EH＝AC＝FG，EF＝BD＝GH，

  ∵四边形ABCD为矩形，

  ∴AC＝BD，

  ∴EH＝AC＝FG＝EF＝BD＝GH，

  ∴四边形EFGH为菱形.

  ③若ABCD为菱形，则EFGH为矩形，留给同学们自己证.（5分）

 （3）当平行四边形EFGH是矩形时，四边形ABCD必须满足：对角线互相垂直．  

当平行四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD必须满足：对角线相等．（3分）

（1）根据图形的特点及性质可直接判断．

（2）利用两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行，再利用两组对边平行的四边形是平行四边形．

（3）和（2）中的问题重合．主要是利用对角线相等的平行四边形是矩形以及一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行确定条件．