Question

某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点。

⑴该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN²=CD²+CN²，在图③中（三角板一边与OC重合），CN²=BN²+CD²，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由。

⑵试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。

⑶将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之  间所满足的数量关系（不需要证明）

Answer

⑴见解析⑵CM2+CN2=DM2+BN2，理由见解析⑶CM2－CN2+ DM2－BN2=2

【解析】⑴选择图①证明：

连结DN

∵矩形ABCD

∴BO=DO  ∠DCN=900

∵ON⊥BD

∴NB=ND     

∵∠DCN=900

∴ND2=NC2+CD2   

∴BN2=NC2+CD2    (4分)

注：若选择图③，则连结AN同理可证并类比给分

 ⑵CM2+CN2=DM2+BN2    理由如下：

延长DO交AB于E

∵矩形ABCD

∴BO=DO  ∠ABC=∠DCB=900

AB∥CD

∴∠ABO=∠CDO  ∠BEO=∠DMO

∴△BEO≌△DMO 

∴OE=OM   BE=DM

∵MO⊥EM

∴NE=NM         

∵∠ABC=∠DCB=900

∴NE2=BE2+BN2   NM2=CN2+CM2

∴CN2+CM2 =BE2+BN2

即CN2+CM2 =DM2+BN2 (4分)

⑶CM2－CN2+ DM2－BN2=2（2分）

（1）作辅助线，连接DN，在Rt△CDN中，根据勾股定理可得：ND2=NC2+CD2，再根据ON垂直平分BD，可得：BN=DN，从而可证：BN2=NC2+CD2；

（2）作辅助线，延长MO交AB于点E，可证：△BEO≌△DMO，NE=NM，在Rt△BEN和Rt△MCN中，根据勾股定理和对应边相等，可证：CN2+CM2=DM2+BN2；

（3）根据正方形的性质知：OA=OB，∠OAM=∠OBN，∠AOB=∠AOM+∠BOM=90°，∠MON为直角三角板的直角，可知：∠MON=∠BOM+∠BON=90°，可得：∠AOM=∠BON，从而可证：△AOM≌△BON，AM=BN，又AB=BC，可得：BM=CN，在Rt△ADM和△BCM中，根据勾股定理：DM2=AM2+AD2=BN2+AD2，MC2=MB2+BC2=CN2+BC2，故可得：CM2-CN2+DM2-BN2=2．