Question

在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N .

（1）写出点C的坐标；

（2）求证：MD = MN；

（3）连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明.

Answer

（1）C（2，2）（2）见解析（3）MN平分∠FMB成立．证明见解析

【解析】（1）C（2，2）；（2分）

（2）在OD上取OH=OM，连接HM，

∵OD=OB，OH=OM，

∴HD=MB，∠OHM=∠OMH，

∴∠DHM=180-45=135°，

∵NB平分∠CBE，

∴∠NBE=45°，

∴∠NBM=180-45=135°，

∴∠DHM=∠NBM，

∵∠DMN=90°，

∴∠DMO+∠NMB=90°，

∵∠HDM+∠DMO=90°，

∴∠HDM=∠NMB，

又∵DH=MB，

∴△DHM≌△MBN，

∴DM=MN．（3分）

（3）MN平分∠FMB成立．证明如下：

在BO延长线上取OA=CF，可证△DOA≌△DCF，△DMA≌△DMF，

FM=MA=OM+CF（不为定值），∠DFM=∠DAM=∠DFC，

过M作MP⊥DN于P，则∠FMP=∠CDF，

由（2）可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°，

∠NMB=∠MDO，∠MDO+∠CDF=45°，

进一步得∠NMB=∠NMF，即MN平分∠FMB．(4分)

（1）根据四边形OBCD是正方形所以点C的坐标应该是C（2，2）；

（2）可通过构建全等三角形来求解．在OD上取OH=OM，通过证三角形DHM和MBN全等来得出DM=MN．

（3）本题也是通过构建全等三角形来求解的．在BO延长线上取OA=CF，通过三角形OAD，FDC和三角形DAM，DMF这两对全等三角形来得出FM和OM，CF的关系，从而得出FM是否是定值．然后再看∠FMN是否与∠NME相等．