Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点。

  （1）用分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；

  （2）若四边形PQOB的面积是，且CQ:AO=1:2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；

  （3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）点A(，0) ,点B(，o), 点P,45°（2）PA的函数表达式为，PB的函数表达式为,（3）

【解析】【解析】
(1)在直线中，令，得．  ∴点A(，0)．……1分

在直线中，令，得．  ∴点B(，o)．……1分

由 得    ∴点P

在直线中，令，得，∴，即有AO=QO．

  又∠AOQ=90°，∴∠PAB＝45°．    ……1分

(2)∵，，AO=CO，而CQ：AO＝1：2

而．

过点P作PE垂直x轴于点E．

．

                           ……2分

∴(舍去)．得．∴P()．

∴PA的函数表达式为，PB的函数表达式为．    ……1分

  (3)存在．

  过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点，过点A作BP的平行线交PM于点，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点．

  ①∵∥AB且∥AP，∴是平行四边形．此时，易得；

  ②∵∥AB且∥BP，∴是平行四边形．此时，易得；

③∵∥AP且∥BP，此时是平行四边形．∵∥AP且B(2，O)，∴。同理可得．

由  得       ∴         ……3分

（1）已知直线解析式，令y=0，求出x的值，可求出点A，B的坐标．联立方程组求出点P的坐标．推出AO=QO，可得出∠PAB=45°．

（2）先根据CQ：AO=1：2得到m、n的关系，然后求出S△AOQ，S△PAB并都用字母m表示，根据

S四边形PQOB=S△PAB-S△AOQ积列式求解即可求出m的值，从而也可求出n的值，继而可推出点P的坐标以及直线PA与PB的函数表达式．

（3）本题要依靠辅助线的帮助．求证相关图形为平行四边形，继而求出D1，D2，D3的坐标．