Question

图1，线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：

1.在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：                 ；

    

2.仔细观察，在图2中“8字形”的个数：       个；

3.图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数。

4.图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.说明理由。（直接写出结果，不必证明）。

Answer

1. ∠A+∠D=∠C+∠B               

2. 6 个                        

3.【解析】
∠DAP+∠D=∠P+∠DCP       ①

         ∠PCB+∠B=∠PAB+∠P       ②  

      ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P

      ∴∠DAP=∠PAB，∠DCP= ∠PCB       

      ①+②得：

∠DAP+∠D+∠PCB+∠B =∠P+∠DCP+∠PAB+∠P

    又∵∠D=50度，∠B=40度

 ∴50°+40°=2∠P

  ∴∠P=45°           

4.关系：2∠ P=∠D+∠B             

【解析】

1.根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；

2.根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；

3.先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②，可得2∠P=∠D+∠B，进而求出∠P的度数．