Question

（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

（2）结论应用：如图2，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F． 试证明：MN∥EF．  

（3）变式探究：如图3，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，过点M作MG⊥x轴，过点N作NH⊥y轴，垂足分别为E、F、G、H． 试证明：EF ∥GH．

Answer

（1）AB∥CD，理由见解析（2）、（3）证明见解析

【解析】（1）证明：分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA＝∠DHB＝90°．

∴ CG∥DH．   

∵ △ABC与△ABD的面积相等，  ∴ CG＝DH．  

∴ 四边形CGHD为平行四边形．  ∴ AB∥CD．（4分 ）

（2）①证明：连结MF，NE．

设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2）．

∵ 点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，

∴ ，．  

∵ ME⊥y轴，NF⊥x轴，  ∴ OE＝y1，OF＝x2． ∴ S△EFM＝， 

S△EFN＝．    ∴S△EFM ＝S△EFN．           

由（1）中的结论可知：MN∥EF．  （8分）

（3） 法一：连接FM、EN、MN，同（2）可证MN∥EF，同法可证GH∥MN，故EF ∥GH．

法二：直接利用OE·OG=OF·OH证△OEF∽△OHG(具体过程略)（12分）

（1）分别过点C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足为G、H，根据三角形的面积求出CG=DH，推出平行四边形CGDH即可

（2）证△EMF和△NEF的面积相等，根据（1）即可推出答案

（3）利用OE·OG=OF·OH证△OEF∽△OHG，即可得出结论