Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=6 cm，，BC=4 cm，点D为AB的中点

1.如果点P在线段BC上以1 cm／s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．

    ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，

请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使

△BPD与△CQP全等？

2.若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

Answer

1.①△BPD与△CQP全等．理由如下：

∵  D是AB的中点，，

∴  ．

经过1秒后，．

∵  ，

∴  ．

在△BPD与△CQP中，

∴  △BPD≌△CQP (SAS)．………………………………3分

②设点Q的运动速度为x cm/s，经过t秒后△BPD≌△CQP，

则，．

∴             解得 

即点Q的运动速度为cm/s时，能使△BPD与△CQP全等．………………………………5分      

2.设经过y秒后，点P与Q第一次相遇，

则  ，解得  ．………………………………7分

此时点P的运动路程为24 cm．

∵  △ABC的周长为16，

，

∴  点P、Q在边上相遇．………………………………8分

【解析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．

②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；

（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等边三角形的两个边长．