Question

如图8，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE.

（1）求证：DE=DC．

（2）如图9，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系.

Answer

（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，

∴ ∠B+∠AED =180°

∵∠DEC+∠AED =180°

∴∠DEC =∠B

∵AB=AC

∴∠C =∠B

∴∠DEC =∠C

∴DE=DC

（2）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，

∴ ∠A+∠BDE =180°

∵∠EDC+∠BDE =180°

∴∠A=∠EDC

∵OA=OE

∴∠A=∠OEA

∵∠OEA=∠CEF

∴∠A=∠CEF

∴∠EDC=∠CEF

∵∠EDC+∠DEC+∠DCE =180°

∴∠CEF+∠DEC+∠DCE =180°

即∠DEF +∠DCE =180°

又∵∠DCG +∠DCE =180°

∴∠DEF=∠DCG

∵∠EDC旋转得到∠FDG

∴∠EDC=∠FDG

∴∠EDC -∠FDC =∠FDG -∠FDC

即∠EDF=∠CDG

∵DE=DC

∴△EDF ≌ △CDG（ASA）

∴DF=DG

【解析】（1）圆内接四边形的两个对角之和为180度，等腰三角形两底角相等；

       （2）通过证明△EDF ≌ △CDG可知DF=DG。