Question

如图：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上(与A、C不重合)，Q在BC上．

1.当△PQC的面积是四边形PABQ的面积时，求CP的长

2.当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．

Answer

1.∵PQ∥AB          ∴△PQC∽△ABC

∵ 

∴  

 ∴  

∴…4分

2.△PQC∽△ABC  

   ∴

             ∴    

  ∴       

            同理：

             ∴…………6分

                          …………8′

            ∴    

            ∴  

 ∴…………10

【解析】（1）由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，当△PQC的面积是四边形以PABQ的面积时，△CPQ与△CAB的面积比为1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP的长；

（2）由于△PQC∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ的长．根据△CPQ和四边形ABQP的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP的长．