Question

如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30⁰，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA.其中正确结论的序号是（ ▲ ）

A. ②④    B. ①③   C. ①③④   D. ①②③④                                                                              

Answer

C

【解析】∵ACE是等边三角形∴∠EAC=60°，AE=AC ∵∠BAC=30°

∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC ∵F为AB的中点 ∴AB=2AF ∴BC=AF

∴△ABC≌△EFA  ∴∠AEF=∠BAC=30° ∴EF⊥AC.故①是正确的；

∵△ABC≌△EFA ∴EF=AB ∵AB=AD ∴AD=EF 同理可证AE=DF

 ∴ADFE是平行四边形∵F为AB的中点∴△AFD是直角三角形，AD≠DF.

因此四边形ADFE不是菱形.故②不正确；

∵ADFE是平行四边形∴AG=AF=AB∵AD=AB∴AD=4AG.故③是正确的；

∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，

∴∠DFB=∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，

∴△DBF≌△EFA（AAS）．故④是正确的.故选C．