Question

如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交与点O，AD与BC交与点P，BE与CD交与点Q，连接PQ．有下列结论：①AD=BE      ②AP=BQ  ③ ∠AOB=60°  ④DE=DP 其中正确的结论有   

                   

A．① ② ③    B．① ③ ④      C．① ②    D. ② ③ ④

Answer

A

【解析】∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，

∴180°-∠ECD=180°-∠ACB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，

∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，故①小题正确；

∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），

∴∠ACQ=180°-60°×2=60°，∠ACB=∠ACQ=60°，

在△ACP与△BCQ中，∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠ACQ=，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ，故②小题正确；

∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD=∠CBE，∵∠CBE+∠BEC=∠BCA=60°，

∴∠CAD+∠BEC=60°，∴∠AOB=60°，故③小题正确；

∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故选A.