Question

问题背景:

（1）     如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：

四边形DBFE的面积     ▲     ，

△EFC的面积     ▲     ，

△ADE的面积     ▲     ．

探究发现

（1）在（1）中，若，，DE与BC间的距离为．请证明．

拓展迁移

（2）如图2，平行四边形DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．

Answer

（1），，（2）见解析（3）18

【解析】【解析】
（1），，（3分）

（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE为平行四边形，，．

∴△ADE∽△EFC，∴．

∵，∴．

∴．而，∴ （3分）

（3）【解析】
过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形．

∴，，．

∵四边形DEFG为平行四边形，

∴     ∴   ∴．    

∴△DBE≌△GHF．∴△GHC的面积为．

由（2）得，□DBHG的面积为．

∴△ABC的面积为（4分）

（1）四边形DBFE是平行四边形，利用底×高可求面积；△EFC的面积利用底×高的一半计算；△ADG的面积，可以先过点A作AH⊥BC，交DE于G，交BC于H，即AG是△ADE的高，AH是△ABC的高，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△ADG∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求AG，再利用三角形的面积公式计算即可；

（2）由于DE∥BC，EF∥AB，可知四边形DBFE是▱，同时，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，从而易得△ADE∽△EFC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得S1：S2=a2：b2，由于S1=1/2bh，那么可求S2，从而易求4S1S2，又S=ah，容易证出结论；

（3）过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，容易证出△DBE≌△GHF，那么△GHC的面积等于8，再利用（2）中的结论，可求▱DBHG的面积，从而可求△ABC的面积．