Question

如图1，在等腰梯形ABCO中，AB∥CO，E是AO的中点，过点E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.现把梯形ABCO放置在平面直角坐标系中，使点O与原点重合，OC在x轴正半轴上，点A，B在第一象限内．

（1）求点E的坐标及线段AB的长；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交OC于点M，过M作MN∥AO交折线ABC于点N，连结PN,设PE=x.△PMN的面积为S.

①求S关于x的函数关系式；

②△PMN的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由.若存在，求出面积的最大值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC.现在开始操作：固定等腰梯形ABCO，将直角梯形EDGH以每秒1个单位的速度沿OC方向向右移动，直到点D与点C重合时停止（如图2）.设运动时间为t秒，运动后的直角梯形为E′D′G′H′（如图3）;试探究：在运动过程中，等腰梯ABCO与直角梯形E′D′G′H′重合部分的面积y与时间t的函数关系式.

Answer

（1）E（1，），AB=2（2）①②（3）y=-t+,y= 2

【解析】【解析】
（1）E（1，），AB=2（ 4分）

（2）①当0≤x≤1时，S=，当时，（2分）

②若0≤x≤1时，S=                   

若时，∵-＜0 ∴S随x的增大而减小∴S不存在最大值                         

∴综上所述，当0≤x≤1时，S存在最大值，最大值为 (2分)

（3）当0≤t≤2时，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形内部，

这时重叠部分的面积即为直角梯形面积，y=×（2+3）×=

当2＜t≤4时，y=×（4-t+5-t）×=-t+

当4＜t≤5时，y=(5-t)××(5-t)= 2（4分）

（1）过点E作OC的垂线EW，垂足为W，解直角三角形EOW可求得点E的坐标，

以及线段AB的值

(2)中利用线线平行和已知的AO=MN，求三角形PMN面积,只需要求解高即可，利用给出的x分类讨论，0≤x≤1和当时点到两种不同的结果，然后根据得到的面积表达式为二次函数，利用二次函数的性质得到最值。

（3）根据梯形运行的时间可知，求解的面积公式需要分类讨论。当0≤t≤2时，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形内部，这时重叠部分的面积即为直角梯形面积

当2＜t≤4时，和当4＜t≤5时，结合梯形面积公式得到结论。