Question

将抛物线c₁：沿x轴翻折，得到抛物线c₂，如图所示．

（1）请直接写出抛物线c₂的表达式；

（2）现将抛物线c₁向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c₂向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．

①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）①2，1/2，②是矩形，m＝1

【解析】（1）抛物线c2的表达式为．

（2）抛物线c1：与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为．

抛物线c2：与x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为．

抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB＝2．

抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．

①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：

情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．

情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．

图2                         图3                      图4

②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．

（1）根据抛物线的对称性解出

（2）求出抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标和与x轴的两个交点，以及AB长；求出抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标和与x轴的两个交点，以及AE长；①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：B在D的左侧，B在D的右侧，分别解得m，②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1