Question

如图，已知抛物线y＝a(x－1)²＋(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

Answer

（1）y＝－(x－1)2＋（2）当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．（3）t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为，PQ的长为

【解析】【解析】
（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋，得0＝a(－2－1)2＋．

∴a＝－································· 1分

∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋

即y＝－x 2＋x＋．······················· 3分

（2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点

∴xD＝－＝1，yD＝－×1 2＋×1＋＝．

∴点D的坐标为(1，)．

如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．

∴∠DAO＝60°······························· 4分

∵OM∥AD

①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．

∴OP＝6

∴t＝6（s）························ 5分

②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．

过点O作OE⊥AD轴于E．

在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．

（注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）

∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．

∴t＝5（s）································ 6分

③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6－2＝4．

∴t＝4（s）

综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．

······································ 7分

（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．

又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．

∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）

过点P作PF⊥x轴于F，

则PF＝t．······························· 8分

∴S四边形BCPQ ＝S△COB －S△POQ

＝×6×－×(6－2t)×t

＝(t－)2＋··························· 9分

∴当t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为．················ 10分

此时OQ＝6－2t＝6－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝．

∴PQ＝＝＝················· 12分

（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋，求得a的值，从而求得该抛物线的解析式

（2）由抛物线的解析式求得点D的坐标，过点D作DN⊥x轴于N，①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，分别求得出t的值

（3）由已知求得OB＝OC＝AD＝6，过点P作PF⊥x轴于F，从而求得四边形BCPQ面积关系式，求得t的值和面积的最小值，利用勾股定理求得PQ的长