Question

如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，边AB与y轴交于点C.

（1）若∠A=∠AOC，试说明：∠B=∠BOC；

（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度数；

（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，∠A=40°，当△ABO绕O点旋转时（边AB与y轴正半轴始终相交于点C），问∠P的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由.

Answer

⑴见解析（2）30°（3）∠P的度数不变,∠P=25°，理由见解析

【解析】解⑴∵△AOB是直角三角形  

∴∠A＋∠B=90°,∠AOC＋∠BOC=90°   

∵∠A=∠AOC     ∴∠B=∠BOC 

     ⑵∵∠A＋∠ABO=90°,∠DOB＋∠ABO=90°

      ∴∠A=∠DOB        即∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA

       ∵∠DOB＋∠EOB＋∠OEA=90°       ∴∠A=30°

  ⑶∠P的度数不变,∠P=25°.    

∵∠AOM=90°-∠AOC,∠BCO=∠A＋∠AOC

又OF平分∠AOM,CP平分∠BCO

∴∠FOM=45°-∠AOC,∠PCO=∠A＋∠AOC

∴∠P=180°-(∠PCO＋∠FOM＋90°)=45°-∠A=25°

（1）由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等即可证明；

（2）由直角三角形两锐角互余、等量代换求得∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠E；然后根据外角定理知∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°；从而求得∠DOB=30°，即∠A=30°；

（3）由角平分线的性质知∠FOM=45°- ∠AOC ①，∠PCO= ∠A+ ∠AOC ②，根据①②解得∠PCO+∠FOM=45°+ ∠A，最后根据三角形内角和定理求得旋转后的∠P的度数．