Question

已知抛物线与轴交于点A（，0），

（1）直接写出抛物线与轴的另一个交点B的坐标；

（2）若直线过抛物线顶点M及抛物线与轴的交点(0，3)．

① 求直线MC所对应的函数关系式；

② 若直线MC与轴的交点为，在抛物线上是否存在点，使得△NPC是以NC为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）B（1，0）（2）①②，），，），

【解析】【解析】
（1）B（1，0）................(3分)

（2）①∵点B（1，0），C（0，3）在抛物线上，抛物线与轴交于点C（0，3）.

∴ 解得∴抛物线所对应的函数关系式为.....(5分)

∴M（，4）设直线MC所对应的函数关系式为，

∴，解得，∴直线MC所对应的函数关系式为．....(7分)

②假设在抛物线上存在异于点C的点P，使得△NPC是以NC为直角边的直角三角形．

 ①若PN为△NPC的另一条直角边，如图1．

  易得直线MC与x轴的交点坐标为N（3，0）．

 ∵OC=ON，，∴，

  在轴上取点D（0，），连结ND交抛物线于点P．

  ∵ON=OD，∴．∴．

  设直线ND的函数表达式为．

    可得，解得  

 ∴直线ND的函数表达式为．....(9分)

    设点P（x，），并将它代入抛物线的函数表达式，得

   即．解得，

∴， 

∴满足条件的点为，），....(10分)

，）． 

  ②若PC是另一条直角边，如图2．

  ∵点A是抛物线与x轴的另一交点，

∴点A的坐标为（，0）．

  连结AC．∵OA=OC，∴．又，

  ∴，∴点A就是所求的点（，0）．   ....(12分)

  [或：求出直线AC的函数表达式为．设点P（x，），代入抛物线  的函数表达式，得，即．解得，． ∴，，∴点，，，（舍去）．]

 综上可知，在抛物线上存在满足条件的点有3个，分别，），，），．....(13分)

（1）根据已知抛物线的解析式，可得到抛物线的对称轴方程，从而根据A点坐标求出点B的坐标．

（2）根据A、B、C三点坐标，即可求得抛物线的解析式和它的顶点坐标；

①已经求得M、C的坐标，利用待定系数法求解即可；

②假设存在符合条件的P点，分两种情况考虑：

1）以N为直角顶点，即PN为另一条直角边；

易求得点N的坐标，根据C、N点的坐标可知∠CNO=45°，若∠PNC=90°，可在y轴截取OD=ON，易得点D的坐标，即可求出直线DN的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标；

2）以C为直角顶点，即PC为另一条直角边；

根据A、C的纵坐标知：∠CAN=45°，此时∠ACN=90°，那么点A即为所求的P点；

综合上述两种情况，即可得到符合条件的P点坐标．