Question

如图，在等腰梯形中，AC∥OB，OA＝BC．以O为原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系xoy，已知，B（8，0）．

（1）直接写出点C的坐标；

（2）设为的中点，以为圆心，长为直径作⊙D，试判断点与⊙D的位置关系；

（3）在第一象限内确定点，使与相似，求出所有符合条件的点的坐标．

Answer

（1）C（6，）（2）点在⊙D上（3）（6，2），（8，8）（8，）

【解析】【解析】
（1）C（6，）；....(3分)

（2）连结AD．

∵AC∥OB，即 AC∥BD．

又 D是圆心，∴DB＝OB＝4＝AC．

∴ ACBD是平行四边形． ∴ AD＝CB＝AO．

过A作AE⊥OB于E．

在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得 AO＝4．

∴ AD＝AO＝4＝OB．

∴ 点在⊙D上．....(7分)

（3）∵ 点在⊙D上，OB为直径，∴ ∠OAB＝900． 即△OAB是直角三角形．

    故  符合题意的点M有以下3种情况：

① 当与△BAO相似时（如图），则有  ．

  ∴ M1B＝AO．

  ∵ CB＝AO，∴ M1B＝CB．  ∴点M1与点C重合．

  ∴此时点的坐标为（6，2）；....(9分)

② 当与△OBA相似时，即过点作的垂线交的延长线于（如图），

则有．

在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得 AB＝4．

∴ B＝8．

∴ 此时点的坐标为（8，8）．....(11分)

③ 当与△BOA相似时，即过点作的垂线交的延长线于（如图），

  则有．

  ∴ B＝．

∴ 此时点的坐标为（8，）．....(13分)

（1）已知四边形OACB是等腰梯形，则根据A，B的坐标及等腰梯形的性质即可求得点C的坐标．

（2）连接AD，根据已知可推出四边形ABCD是平行四边形，过A作AE⊥OB于E，根据勾股定理即可注得AO的长，从而可判定点A在⊙D上．

（3）点A在⊙D上，OB为直径，则可知△OAB是直角三角形，从而分情况进行分析即可．