Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA．

（1）若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；

（2）求证：∠MPB＝90°－ ∠FCM．

Answer

（1）连结MD

∵点E是DC的中点，ME⊥DC  ∴MD=MC

又∵AD=CF,MF=MA  ∴△AMD≌△FMC

∴∠MAD=∠MFC=120° ∵AD∥BC，∠ABC＝90°

∴∠BAD＝90°       ∴∠MAB＝30°

在Rt△AMB中，∠MAB＝30°

∴BM=AM．,即AM=2BM

(2)∵△AMD≌△FMC  ∴∠ADM=∠FCM

∵AD∥BC         ∴∠ADM=∠CMD

∴∠CMD=∠FCM

∵MD=MC,ME⊥DC

∴∠DME==∠CME=∠CMD

∴∠CME=∠FCM

在在Rt△MBP中，∠MPB＝90°-∠CME=90°-  ∠FCM

【解析】（1）连接MD，由于点E是DC的中点，ME⊥DC，所以MD=MC，然后利用已知条件证明△AMD≌△FMC，根据全等三角形的性质可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°，接着得到∠MAB=30°，再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可证明AM=2BM；

（2）利用（1）的结论得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，再利用等腰三角形的性质即可得到∠CME=∠FCM，再根据已知条件即可解决问题．