Question

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90^o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

 （1）证明：∠BAE=∠FEC；

（2）证明：△AGE≌△ECF；

（3）求△AEF的面积．

Answer

（1）证明：∵∠AEF=90o，

∴∠FEC+∠AEB=90o

在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90o，

∴∠BAE=∠FEC；

（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，

∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180o－45o=135o．

又∵CF是∠DCH的平分线，

             ∠ECF=90o+45o=135o

在△AGE和△ECF中，

            ∴△AGE≌△ECF；  

  （3）【解析】
由△AGE≌△ECF，得AE=EF．

又∵∠AEF=90o，

∴△AEF是等腰直角三角形

由AB=a，BE=a，知AE=a，

∴S△AEF=a2

【解析】（1）由于∠AEF是直角，则∠BAE和∠FEC同为∠AEB的余角，由此得证；

（2）根据正方形的性质，易证得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定两个三角形全等；

（3）在Rt△ABE中，根据勾股定理易求得AE2；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面积为AE2的一半，由此得解