Question

已知，△ABC中，∠BAC=45°，以AB边为边以点B为直角顶点在△ABC外部作等腰直角三角形ABD，以AC边为斜边在△ABC外部作等腰直角三角形ACE，连结BE、DC，两条线段相交于F，试求∠EFC的度数．

                                               （备用图）

Answer

作DH∥BE交EA延长线于H，连接CH，

∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，∠BAC=45°，

∴∠BDA+∠DAE=180°，

∴四边形BEHD为平行四边形，

在△CEH和△EAB中，

CE=AE

∠CEH=∠EAB

HE=AB，

∴△CEH≌△EAB，

∴CH=BE=DH，∠CHE=∠ABE，

∵∠ABE+∠AEB=∠BAE=90°，

∴∠CHE+∠BEH=90°，

∴∠CHD=90°，

∴∠EFC=∠CDH=45°．

【解析】作DH∥BE交EA延长线于H，连接CH，易证四边形BEHD为平行四边形，然后证明△CEH≌△EAB，根据平行线的性质，可得出∠CHD是直角，即可求出∠EFC的度数．