Question

如图，∠MBN的两边BM，BN上分别有两点A、C，满足BC=2BA，作□ABCD，取AD的中点E，作CF⊥CD，CF与AB所在的直线交于点F。

（1）当∠B=时，直接写出∠DEF的度数；

（2）在射线BM绕B点旋转的过程中，若∠B=，∠DEF=（＜X＜，＜Y＜），求：Y关于X的函数解析式及相应自变量X的取值范围，           

Answer

(1)∠DEF=°；…………2分

(2)对∠B的大小分三种情况讨论如下：

①当时，点F在线段AB上(见图7-1)。

延长FE，并与CD的延长线交于点G，记∠AFE=。

∵ ABCD，∴ AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠3=∠B=x°。

∴ ∠DGE=∠AFE=。

可得 △AEF≌△DEG。

∴ EF=EG，CE为Rt△CFG斜边的中线。

∴ EF=EG，∠1=∠G=。

∵ BC=2AB，

∴ 2DE=2CD，DE=CD。

∴ 等腰三角形△CDE中，∠1=。

∴ 

…………3分

 <1>当∠B=90°时，点F与点B重合，(见图7-2) 此时∠DEF=135°，，

所以仍成立。…………4分

<2>当∠B=60°时，点F与点A重合，∠DEF=180°不合题意(见图7-3)。

②当时，点F在线段AB的延长线上(见图7-4)。

与①同理可得。…………6分

③当时，点F在线段BA的延长线上(如图7-5)。

与①同理可得CE为Rt△CFG斜边的中线，EC=EG，DE=CD。

∴ △CEG和△CDE为等腰三角形。

在等腰三角形△CEG中，∠1=180°-2∠2，在等腰三角形△CDE中，，

∴ ∠DEF=180°-∠3=180°-(∠CED-∠1)=360°-3∠2=。…………7分

综上所述，当时，；

当时，。

【解析】（1）当∠B=时，四边形ABCD是矩形，F点和B点重合，从而得出∠DEF的度数；

（2）分三种情况进行讨论。