Question

阅读下面材料，并解决问题：

（1）如下图1，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则∠APB＝______，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌_______这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数.

（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知：如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF²＝BE²+FC².

Answer

（1）将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，

∴△BAP≌△CAP′，

∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，

∴∠BAC=PAP′=60°，

∴△APP′是等边三角形，

∴∠APP′=60°，

因为B P P′不一定在一条直线上

连接PC，

∴P′C=PB=4，PP′=PA=3，PC=5，

∴∠PP′C=90°，

∴△PP′C是直角三角形，

∴∠APB=∠AP′C=150°，

∴∠BPA=150°；

故答案是：150°，△ABP；

（2）把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．

则△ACF≌△ABG．

∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．

∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．

∴∠GAE=∠EAF=45°，

又∵AG=AF，AE=AE．

∴△AEG≌△AFE．

∴EF=EG，

又∵∠GBE=90°，

∴BE2+BG2=EG2，

即BE2+CF2=EF2．

【解析】（1）此类题要充分运用旋转的性质，以及全等三角形的性质得对应角相等，对应边相等，得出∠PAP′=60°，再利用等边三角形的判定得出△APP′为等边三角形，即可得出∠APP′的度数，即可得出答案；

（2）利用已知首先得出△AEG≌△AFE，即可把EF，BE，FC放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明．