Question

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点

E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：

                    

①AP =EF；②∠PFE=∠BAP；③PD= EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有

A．1个     B．2个     C．3个     D．4个

Answer

C

【解析】【解析】
作PH⊥AB于H，

∴∠PHB=90°，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=∠BDC=45°，∠ABC=∠C=90°，

∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE=BE，DF=PF，

∴四边形BEPH为正方形，

∴BH=BE=PE=HP，

∴AH=CE，

∴△AHP≌△FPE，

∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，

故①、②正确，

在Rt△PDF中，由勾股定理，得

PD= 2 PF，

∴PD= 2 CE．

故③正确．

∵点P在BD上，

∴当AP=AD、PA=PD或DA=DP时△APD是等腰三角形．

∴△APD是等腰三角形只有三种情况．

故④错误，

∴正确的个数有3个．

故选C．