Question

已知：如图1，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐

标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线＝－＋交折线O－A－B于点E．

（1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA于点N，E．求证：四边形DMEN是菱形；

（3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为____________．

    

Answer

【解析】
（1）∵矩形OABC中，点A，C的坐标分别为，，

            ∴点B的坐标为．

若直线经过点C，则；

            若直线经过点A，则；

            若直线经过点B，则．

①当点E在线段OA上时，即时，（如图8） 

           ∵点E在直线上，

当时，，

            ∴点E的坐标为．

            ∴．

②当点E在线段BA上时，即时， （如图9）

             ∵点D，E在直线上，

当时，；

当时，，

            ∴点D的坐标为，点E的坐标为．

            ∴

                ．

      （2）证明：

∵四边形OABC和四边形O′A′B′C′是矩形，

∴CB∥OA， C′B′∥O′A′，

即DN∥ME，DM∥NE．

       ∴四边形DMEN是平行四边形，且∠NDE=∠DEM．

       ∵矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，

       ∴∠DEM=∠DEN．

       ∴∠NDE=∠DEN．

      ∴ND=NE．

      ∴四边形DMEN是菱形。

       （3）2.5

【解析】（1）考虑点E在线段OA和BA上两种情况；

    （2）一组邻边相等的平行四边形是菱形。