Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上的一点，且CE＝8，BC＝12，CD＝4，∠C＝30°，∠B＝60°。点P是线段BC边上一动点（包括B、C两点），设PB的长是x。

（1）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形。

（2）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形。

（3）P在BC 上运动时，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否为菱形。

Answer

作AF垂直于BC于点F, DG垂直于BC于点G

∴DG＝2，CG＝6

∴DG＝AF＝2

∵∠B＝60°

∴BF＝2。

∵BC＝12

∴FG＝AD＝4

显然，当P点与F或点G重合时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形。

所以x=2或x=6

(2) ∵AD=BE=4，且AD∥BE

∴当点P与B重合时，

即x=0时。点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形

又∵当点P在CE中点时，EP＝AD＝4，且EP∥AD，

∴x=8时，点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形

（3）由（1）（2）知，∵∠BAF＝30°

∴AB＝2BF＝4   所以当P与B重合时即x=0时或当x=8时点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形

【解析】（1）如图，分别过A、D作BC的垂线，垂足分别为F、G，容易得到AF=DG，AD=FG，而CD=4，∠C=30°，由此可以求出CG=6，DG=AF=2，又∠B=60°，BF=2，若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，则∠APC=90°或∠DPC=90°，那么P与F重合或P与G重合，根据前面求出的长度即可求出此时的x的值；

（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，由于AD=BE=4，且AD∥BE，有两种情况：①当点P与B重合时，利用已知条件可以求出BP的长度；②当点P在CE中点时，利用已知条件也可求出BP的长度；

（3）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．由（1）（2）知，当BP=0或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，根据已知条件分别计算一组邻边证明它们相等即可证明它是菱形．