Question

已知关于x的方程 

（1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（4分）

（2）若等腰三角形ABC的一边长，另两边的长b，c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长。（8分）

Answer

（1）⊿=·····2分

∵论k取什么实数值，≥0，·∴原方程总有实数根.

（2）∵三角形ABC是等腰三角形ABC，

∴有两条边相等。

若b=c,

∵b、c都是方程的根，

∴⊿==0，。

∴b+c=2k+1=3+1=4.

∵a=4,这时b+c=a,不合题意；

∴不存在这种情况。·若b、c中有一条与a相等，不妨设b=a=4.

∵b是所给的方程的根，

∴，∴ ， b+c=2k+1=6，c=2.

∵a+b=8＞c,

∴三角形ABC的周长为a+b+c=8+2=10.

【解析】（1）先把方程化为一般式：x2-（2k+1）x+4k-2=0，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明△≥0；

（2）先利用因式分解法求出两根：x1=2，x2=2k-1．先分类讨论：若a=4为底边；若a=4为腰，分别确定b，c的值，求出三角形的周长．