Question

如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，.

（1）求证：AD=AE；

（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF. 求证：；

（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.

Answer

（1）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，

              ∴

 ∴．

              ∴．

∴AE=BC.

∵ABCD是平行四边形，

∴AD=BC.

∴AE=AD.

（2）在DP上截取DH=EF（如图8）．

∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，

∴∠EAD=90°．

∵EF⊥PD，∠1＝∠2，

∴∠ADH=∠AEF．

∵AD=AE，

∴△ADH≌△AEF．

∴∠HAD=∠FAE，AH=AF．

∴∠FAH ==90°．

在Rt△FAH中， AH=AF，

∴．

∴．

即．

（3）按题目要求所画图形见图9，

线段DF、EF、AF之间的数量

关系为：

．

【解析】（1）首先根据∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得证．

（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作GA⊥AF，交BD于G，通过证△AFE≌△AGD，来得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得证．

（3）辅助线作法和解法同（2），只不过结论有所不同而已．