Question

在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为，B点的对应点为．

（1）求旋转后的图象解析式；

（2）求、点的坐标；

（3）连结．动点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，试探究：是否存在使为等腰直角三角形的值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）旋转后的图象解析式为． 

（2）由旋转可得（4，-1）、（1，-4）． 

（3）依题意，可知．若为直角三角形，则同时也是等腰三角形，因此，只需求使为直角三角形的值．

分两种情况讨论：

①  当是直角，时，如图1，

∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=MN=t，

∴B′M=8-t，

∵，

∴．

解得  （舍去负值），

∴． 

②当是直角，时，

如图2，

∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=t，

∴B′M=MN=8-t，

∵，

∴，

解得  ．

∵，，

∴此时t值不存在． 

（此类情况不计算，通过画图说明t值不存在也可以）

综上所述，当时，为等腰直角三角形．

【解析】（1）首先把x=1代入反比例函数y=（x＞0）的解析式，求出对应的y值，得到A点坐标，然后由旋转的性质得出∠AOA′=90°，OA=OA′，如果分别过A、A′作AM⊥y轴于M，A′N⊥x轴于N，连接OA，OA′，易证△OAM≌△OA′N，得到A′的坐标，从而求出旋转后的图象解析式；

（2）上问已经求出A′的坐标，同样求出点B′的坐标；

（3）首先运用待定系数法求出直线A′B′的解析式，由斜率k的值可知∠A′B′A=45°．然后假设存在使△MNB'为等腰直角三角形的t值，那么分两种情况讨论：①∠B′NM=90°；②∠B′MN=90°．针对每一种情况，都可以利用等腰直角三角形中斜边是直角边的倍列出方程，从而求出结果．