Question

如图，Rt△AB'C'是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC'交斜边于点E，CC'的延长线交BB'于点F．

1.试说明：△ACE∽△FBE；

2.设∠ABC＝α，∠CAC'＝β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

Answer

1.证明：

∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，

∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，

∴∠CAC′=∠BAB′，

∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，

∴∠ACC′=∠ABB′，又∵∠AEC=∠FEB，

∴△ACE∽△FBE．

2.【解析】
当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由：

在△ACC′中，

∵AC=AC′，

∴∠ACC′=90°-α，在Rt△ABC中，

∠ACC′+∠BCE=90°，

即90°-α+∠BCE=90°，

∴∠BCE=90°-90°+α=α，

∵∠ABC=α，

∴∠ABC=∠BCE，

∴CE=BE，

由（1）知：△ACE∽△FBE，

∴△ACE≌△FBE．

【解析】（1）两个对应角相等，即可判定两个三角形相似。

        （2）考察三角形全等的判定方法。