Question

已知：如图，AB为⊙O的弦，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线交⊙O于点C．过点C作CE⊥AO，分别与AB、AO的延长线相交于E、F两点．CD = 8，．

求：（1）弦AB的长；

（2）△CDE的面积．

Answer

（1）8（2）24

【解析】【解析】
（1）设⊙O的半径OA = r，那么OD = 8 –r．

由  OD⊥AB，得  ∠ADO = 90°．

于是，由  ，即得  ．

解得  r = 5．……………………………………………………………（2分）

∴  OA = 5，OD = 3．

利用勾股定理，得  ．………………………（2分）

∵  OD⊥AB，O为圆心，∴  AB = 2AD = 8．………………………（1分）

（2）∵  CE⊥AO，∴  ∠AFE =∠CDE = 90°．

于是，由  ∠A +∠AEF = 90°，∠C +∠CED = 90°，

得  ∠A =∠C．…………………………………………………………（1分）

又∵  ∠ADO =∠CDE = 90°，

∴  △AOD∽△CED．

∴  ．………………………………………………（2分）

∵  ，

∴  ．………………………………………………（2分）

（1）设圆的半径为r,则OD = 8 –r．利用三角函数和勾股定理求解；

        （2）证得△AOD∽△CED，得出面积之比等于相似比的平方。