Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD // BC，E、F分别为边AB、DC的中点，CG // DE，交EF的延长线于点G．

（1）求证：四边形DECG是平行四边形；

（2）当ED平分∠ADC时，求证：四边形DECG是矩形．

Answer

证明见解析

【解析】证明：（1）∵  F是边CD的中点，∴  DF = CF．………………（1分）

∵  CG // DE，

∴  ∠DEF =∠CGF．………………………………………（1分）

又  ∠DFE =∠CFG，

∴  △DEF≌△CGF（A．A．S）．…………………………（2分）

∴  DE = CG．………………………………………………（1分）

又  CG // DE，

∴  四边形DECG是平行四边形．…………………………………（1分）

（2）∵  ED平分∠ADC，∴  ∠ADE =∠FDE．………………………（1分）

∵  E、F分别为边AB、DC的中点，

∴  EF // AD．

∴  ∠ADE =∠DEF．………………………………………………（1分）

∴  ∠DEF =∠EDF．即得  EF = DF = CF．

∴  ∠FEC =∠ECF．………………………………………………（1分）

即得  ∠EDC +∠DCE =∠DEC．

∵  ∠EDC +∠DCE +∠DEC = 180°，

∴  2∠DEC = 180°．

即得  ∠DEC = 90°．………………………………………………（2分）

又∵  四边形DECG是平行四边形，

∴  四边形DECG是矩形．…………………………………………（1分）

（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

       （2）有一个角是直角的平行四边形是矩形。