Question

已知：抛物线与x轴正半轴相交于点A，点B（m，-3）为抛物线上一点，△OAB的面积等于6．

（1）求该抛物线的表达式和点B的坐标；

（2）设C为该抛物线的顶点，⊙C的半径长为2．以该抛物线对称轴上一点P为圆心，线段PO的长为半径作⊙P，如果⊙P与⊙C相切，求点P的坐标．

Answer

（1），（1，-3）或（3，-3）（2）（2，0）、（2，）

【解析】【解析】
（1）当y = 0时，得  x1 = 0，x2 = b． ……………………………………（1分）

∴  A（b，0），且b > 0．即得  OA = b．

由  △OAB的面积等于6，B（m，-3），

得  ．………………………………………………（1分）

解得  b = 4．

∴  A（4，0），抛物线的表达式为．……………………（2分）

∵  点B（m，-3）在抛物线上，

∴  ．

解得  ，．

∴  点B的坐标为（1，-3）或（3，-3）．…………………………（2分）

（2）∵  ，

∴  抛物线的顶点为C（2，-4），对称轴为直线x = 2．……………（1分）

设P（2，n）．即得  ．…………………………………（1分）

当⊙P与⊙C相切时，有外切或内切两种情况，并且n > -4．

（ⅰ）如果⊙P与⊙C外切，那么  PC = PO +2．

即得  ．

解得  n = 0．

∴  P（2，0）．…………………………………………………………（2分）

（ⅱ）如果⊙P与⊙C内切，那么  ．

即得  ．解得  ．

∴  P（2，）．………………………………………………………（2分）

∴  所求点P的坐标为（2，0）、（2，）．

（1）根据三角形OAB的面积等于6可以求得b = 4的值，从而可知抛物线的解析式；

       （2）注意两圆相切有内切和外切两种情况。