Question

在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．

（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．

（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B、C．当四边形ABCP是菱形时，求出点A、B、C的坐标．

Answer

（1）四边形OKPA是正方形.理由见解析（2）A（0，），B（1，0）  C（3，0）

【解析】【解析】
（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切

     ∴ PA⊥OA，PK⊥OK

     ∴∠PAO=∠OKP=90°，而∠AOK=90°

     ∴四边形OKPA是矩形，而PA=PK

     ∴四边形OKPA是正方形

（2）连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为．

过点P作PG⊥BC于G，

∵四边形ABCP为菱形

∴BC=PC= PA= AB，而 PA= PB = PC

∴△PBC是等边三角形

在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x

PG=．sin60°=，即

解得：x=±2（负值舍去）∴ PG=，PA=BC=2

易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1

∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3

∴ A（0，），B（1，0）  C（3，0）．

（1）四边形OKPA是正方形．当⊙P分别与两坐标轴相切时，PA⊥y轴，PK⊥x轴，x轴⊥y轴，且PA=PK，可判断结论；

（2）连接PB，设点P（x，），过点P作PG⊥BC于G，则半径PB=PC，由菱形的性质得PC=BC，可知△PBC为等边三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG= ，利用sin∠PBG=PG/PB ，列方程求x即可．