Question

如图，已知AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延长线于点C

1.判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

2.若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长．

Answer

1.直线CE与⊙O相切…………1分

证明：如图，连结 OD

        ∵AD平分∠FAE， ∴∠CAD=∠DAE．……………2分

∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAE．

∴∠CAD=∠ODA ∴OD∥AC         ……………3分

∵EC⊥AC，∴OD⊥EC

∴CE是⊙O的切线．……………4分

2.如图，连结BF．

    ∵ AB是⊙O的直径，

∴ ∠AFB=90°．  ……………5分

∵∠C=90°，

∴∠AFB=∠C       ……………6分

∴BF∥EC  ∴AF∶AC= AB∶AE．       ……………7分

∵ AF∶FC=5∶3，AE=16，

∴5∶8=AB∶16．  ∴AB= 10．…………………………8分

【解析】（1）连接OD，只要证明∠ODE=90°即可．

（2）连接BF，根据圆周角定理及平行线性质不难求得AB的长．