Question

已知一抛物线经过（0，0），（1，1）两点，且解析式的二次项系数为

（＞0）.

1.当时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；

2.已知点（0，1），若抛物线与射线相交于点，与轴相交于点（异于原点），当在什么范围内取值时，的值为常数？当在什么范围内取值时，的值为常数？

3.若点（，）在抛物线上，则称点为抛物线的不动点.将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线上，请说明理由.

Answer

1.设该抛物线的解析式为，

∵抛物线经过（0，0）、（1，1）两点，

∴，解得.

∴该抛物线的解析式为 ………………………………………1分

（Ⅰ）当时，该抛物线的解析式为  …………………………2分

.

该抛物线的顶点坐标为（1，1）            . ……………………………………3分

2.∵点在轴上，∴点的纵坐标为0.

当时，有，解得，.

∵点异于原点，∴点的坐标为（，0）.∴ ………………4分

∵点在射线上，∴点的纵坐标为1.

当时，有，，

解得，.

点的坐标为（1，1）或（，1）           . ……………………………5分

当点的坐标为（1，1）时，与重合，此时，，.

与的值都是常数2.

当点的坐标为（，1）时，

若点在点右侧，此时＞1，.

∴，.

若点在点左侧，此时0＜＜1，.

∴，.

∴当0＜≤1时，的值是常数2.  ..………………………………6分

当≥1时，的值是常数2.     ……………………………………7分

3.设平移后的抛物线的解析式为，

由不动点的定义，得方程：，           ………………8分

即.

∵平移后的抛物线只有一个不动点，∴此方程有两个相等的实数根.

∴判别式，              .…………………9分

有，.

∴顶点（，）在直线上.      …………………………………10分

【解析】先用二次项系数为及O、B两点坐标，

得出抛物线的解析式为

（I）     把代入求得抛物线的解析式，然后利用抛物线图象的性质求出顶点坐标；

（II）   利用N点坐标在x轴上求出N点坐标，利用M点在直线AB上求出M点坐标，分别讨论M点在B点两侧情况，从而得出ON+BM和ON-BM为常数的a取值范围；

设平移后的抛物线的解析式为，利用不动点的定义，把P点坐标代入抛物线方程中，利用只有一个不动点，即是方程有两个相等的实数根的性质得出h、k的关系，得出点（h，k）在直线上.