Question

已知，如图，E、F分别为ΔABC的边BC、CA的中点，延长EF到D，使得DF=EF，连结DA，DC，AE.（1）求证：四边形ABED是平行四边形.（2）若AB=AC，试证明四边形AECD是矩形.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】（1）证明：∵E、F分别为ΔABC的边BC、CA的中点

∴EF∥AB ,  EF=AB--------2分

∵DF=EF

∴EF=DE--------3分

∴AB =DE--------4分

∴四边形ABED是平行四边形--------5分

 （2）证明： ∵DF=EF   AF=CF

             ∴四边形AECD是平行四边形--------6分

    ∵AB=AC  AB =DE

∴AC =DE--------7分

        ∴  四边形ABCD是矩形-------8分

或证明：    ∵DF=EF   AF=CF

             ∴四边形AECD是平行四边形--------6分

    ∵AB=AC  BE =EC

∴∠AEC =90°--------7分

        ∴  四边形ABCD是矩形--------8分

（1）由已知可得：EF是△ABC的中位线，则可得EF∥AB，EF= AB，又由DF=EF，易得AB=DE，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABED是平行四边形；

（2）由（1）可得四边形AECD是平行四边形，又由AB=AC，AB=DE，易得AC=DE，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形AECD是矩形