Question

如图，在等腰梯形AECD中，AE∥DC，∠DAE=60°，点B是AE的中点，AC⊥CE.求证：四边形ABCD是菱形.

Answer

证明见解析

【解析】证明：∵四边形是等腰梯形

∴  =60°--------3分

∵ AC⊥CE，点B是AE的中点

∴  AB=BC=BE--------6分

∴-------8分

∴  AD//BC-------9分

∵  AB//CD

∴  四边形ABCD是平行四边形--------11分

又AB=BC

∴  四边形ABCD是菱形． --------13分

此题方法很多，添加辅助线也可，如图，只要有理有据，相应给分即可。

证法2：连结,-------1分

∵四边形是等腰梯形，

∴  =60°--------3分

∵ AC⊥CE，点B是AE的中点

∴  AB=BC=BE--------6分

∴△CBE是等边三角形．

∵

∴△ABD是等边三角形．--------9分

同理，由BD=BC, 得△DBC是等边三角形--------11分

∴AB=BC=CD=AD-． 

∴四边形ABCD是菱形．--------13

(也可以证对角线互相垂直+平行四边形)

证法3：设线段和的延长线交于点．-------1分

∵四边形是等腰梯形，

∴  △AEF是等边三角形， --------4分

∵  ，

∴  FG=CE. --------6分

∵点B是AE的中点

∴BC是△AEF的中位线且AB=BC=BE

∴AD//BC．--------9分

∴  四边形ABCD是平行四边形--------11分

又AB=BC

∴  四边形ABCD是菱形．--------13分

 (也可以证四边相等)

根据等腰梯形同一底上的角相等，可得∠DAB=∠E=60°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB=BC=BE，则易得四边形ABCD是平行四边形，即可得四边形ABCD是菱形．