Question

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说是函数的零点．请根据零点的定义解决下列问题：已知函数（m为常数）．

1.当m=0时，求该函数的零点

2.证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；

3.设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．

Answer

1.函数的零点为和－.。

2.见解析。

3.

【解析】【解析】
(1)当时，，    -------1分 

令，即，解得， 

∴当时，该函数的零点为和－. ………………………2分

（2）令，即，     

△=(－2m)2－4[－2(m+3)] =4m2+8m+24………………………1分

△=4(m+1)2+20                               

∵无论m为何值，4(m+1)2≥0，4(m+1)2+20＞0， 即△＞0，………………2分                                    

∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根，

即该函数总有两个零点.   ………………………3分

（3）依题意有，，，    …………………1分

由得=－，即=－，……………2分

解得m＝1.                                          …………………3分

因此函数解析式为y=x2－2x－8，

令y=0，解得x1=－2，x2=4，                      

∴A（－2，0），B（4，0），                          …………………4分

作点B关于直线的对称点B´，连结AB´，  

则AB´与直线的交点就是满足条件的M点.                …………………5分

易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C(10，0)，D(0，－10)，………6分

连结CB´，则∠BCD=45°，∴BC=CB´=6，∠B´CD=∠BCD=45°，

∴∠BCB´=90°.        即B´（10，-6）.                  ………7分

设直线AB´的解析式为，则

，解得，.

∴直线AB´的解析式为，

即AM的解析式为.