Question

如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．

1.求证：EB=GD；

2.判断EB与GD的位置关系，并说明理由；

3.若AB=2，AG=，求EB的长

Answer

1.见解析

2.EB⊥GD理由见解析

3.

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，

        ∴AG=AE，AB=AD，∠GAE=∠BAD=90°………………………………….1分

在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，

∴∠GAD=∠EAB，

∴△GAD≌△EAB……………………………………………………………..2分

∴EB=GD；……………………………………………………………………..3分

（2）EB⊥GD………………………………………………………………………….4分

理由如下：连接BD，

由（1）得：∠ADG=∠ABE，………………………………………………….5分

则在△BDH中，

∠DHB=180°-（∠HDB+∠HBD）

=180°-90°=90°，

∴EB⊥GD……………………………………………………………………….6分

   （3）设BD与AC交于点O，

∵AB=AD=2

∴在Rt△ABD中，DB=，

∴OD=OA=，………………………………………………………………7分

∴OG=……………………………………………………………………..8分

∴EB=GD=