Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC∶BC=4∶3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动

1.求AC、BC的长；

2.设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm²），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式；

3.当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；

Answer

1.AC=8cm，BC=6cm

2.y=﹣x2+8x（0＜x≤3）

3.见解析。

【解析】【解析】
（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，

∴AC=8cm，BC=6cm；……………………………………………..…….2分

（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，

∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，

∵△QHB∽△ACB，

∴，∴QH=x，………..3分

y=BP•QH=（10﹣x）•x

=﹣x2+8x（0＜x≤3），………………………………………………….4分

②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，

∵AP=x，∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，

∵△AQH′∽△ABC，

∴，即：，解得：QH′=（14﹣2x），…..5分

∴y=PB•QH′=（10﹣x）•（14﹣2x）

=x2﹣x+42（3＜x＜7）；……….6分

（3）∵AP=x，∴AQ=14﹣2x，

∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，

∴，即：，………………7分

解得：x=，PQ=，

∴PB=10﹣x=，……………….8分

∴，

∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；