Question

如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．

1.求证：CF=BF；

2.若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长

Answer

1.连结AC，如图

∵C是弧BD的中点  ∴∠BDC=∠DBC

又∠BDC=∠BAC

在三角形ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴  ∠BCE=∠BAC ，

 ∠BCE=∠DBC

∴  CF=BF  因此，CF=BF．                  3分

2.证法一：作CG⊥AD于点G，

∵C是弧BD的中点    ∴ ∠CAG=∠BAC ，

 即AC是∠BAD的角平分线．

∴  CE=CG，AE=AG ，在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG ， CB=CD

 ∴Rt△BCE≌Rt△DCG，∴BE=DG ，∴AE=AB-BE=AG=AD+DG即   6-BE=2+DG      

∴2BE=4，即 BE=2  又  △BCE∽△BAC，∴

（舍去负值），∴                           7分

（2）证法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB

∴∠BEF=，

在与中，

∵

∴∽，则 

即，   ∴ 

又∵，  ∴

利用勾股定理得： 

又∵△EBC∽△ECA则，即则 

∴即

∴   ∴ 

【解析】（1）等弧对等角；

       （2）以上两种解题方法都用到了三角形的相似。