Question

在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF。

1.求证：AF=DC；

2.如果AB=AC，试猜想四边形ADCF的形状，并证明。

Answer

1.证明：∵AF∥BC，

∴ ∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE

∵ E是AD的中点，

∴ AE=DE，

∴ △AEF≌△DEB，…

∴ AF=BD，…

∵ D是BC的中点，

∴ BD =DC，

∴ AF=DC。

2.若AB=AC，则四边形ADCF是矩形。证明如下：

由（1）得AF AF∥DC，AF=DC，

∴ 四边形ADCF是平行四边形,

∵ AB=AC，且D是BC的中点，

∴ AD⊥BC,

∴ ∠ADC = 900，

∴ 四边形ADCF是矩形。

【解析】

1.因为BD=DC，要证明AF=CD，只需要证明BD=AF，由AF∥BD，AE=ED，

可证明△AEF≌△DEB．

2.由（1）可知BD=DC，如果AB=AC，则AD⊥DC，四边形ADCF为矩形．