Question

如图，已知抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B.

1.求直线AB的解析式；

2.设P（x，y）（x>0）是直线y = x上的一点，Q是OP 的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；

3.在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

Answer

1.对于，令x=0，得y=4，即B（0，4）；…

令y=0，即，解得：x1 = —2，x2 = 4，即A（4，0）

设直线AB的解析式为y = kx + b，

把A（4，0），B（0，4）分别代入上式，得

，解得：k = —1，b = 4，

∴ 直线AB的解析式为y = —x + 4。  

2.当点P（x，y）在直线AB上时，由x = —x + 4，得：x = 2，

当点Q在直线AB上时，依题意可知Q（，），由，得：x = 4，

∴ 若正方形PEQF与直线AB有公共点，则x的取值范围为2≤x≤4；

3.当点E（x，）在直线AB上时，，解得，

① 当时，直线AB分别与PE、PF交于点C、D，此时PC = x—(—x+4) = 2x—4，

∵ PD = PC，

∴ S△PCD =

∴

∵，

∴ 当时，

② 当时，直线AB分别与QE、QF交于点M、N，此时，

∵ QM = QN，

∴ S△QMN=

即，

其中，当时，

综合①、②，当时，

【解析】

1.抛物线的解析式中，令x=0可求出B点的坐标，令y=0可求出A点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线AB的解析式；

2.可分别求出当点P、点Q在直线AB上时x的值，即可得到所求的x的取值范围；

3.此题首先要计算出一个关键点：即直线AB过E、F时x的值（由于直线AB与直线OP垂直，所以直线AB同时经过E、F），此时点E的坐标为（x，），代入直线AB的解析式即可得到x=；

①当2≤x＜时，直线AB与PE、PF相交，设交点为C、D；那么重合部分的面积为正方形QEPF和等腰Rt△PDC的面积差，由此可得到关于S、x的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出S的最大值及对应的x的值；

②当≤x≤4时，直线AB与QE、QF相交，设交点为M、N；此时重合部分的面积为等腰Rt△QMN的面积，可参照①的方法求出此时S的最大值及对应的x的值；

综合上述两种情况，即可比较得出S的最大值及对应的x的值．