Question

如图① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90^ｏ，AD⊥BC，垂足为D.

（1）S_△ABD =      .(直接写出结果)

（2）如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为 ()，在旋转过程中：

探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由

探究二：当的度数为多少时，四边形APDQ是正方形？说明理由.

Answer

（1）S△ABD=4，（2）① 四边形APDQ的面积不会随旋转而变化，②当=45ｏ时，四边形ＡPDQ是正方形.

【解析】【解析】
（1）S△ABD=  S△ABC= =4

（2）① 四边形APDQ的面积不会随旋转而变化.

理由如下：

  在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90ｏ

∠B=∠C=45ｏ

∵AD⊥BC

∴∠BAD=∠DAC=45ｏ

∴∠B=∠DAQ=∠BAD =45ｏ

  BD=AD

    又∵∠BDP+∠ADP=90ｏ

          ∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90ｏ

        ∴∠BDP=∠ADQ

        ∴△BPD≌△AQD

        S四边形APDQ= S△APD+ S△AQD= S△APD+ S△BPD= S△ABD =4

     ② 当=45ｏ时，四边形ＡPDQ是正方形.

  理由如下：

由（１）知△ABD为等腰直角三角形.

当=45ｏ时，DP⊥AB，即∠APD=90ｏ

又∵∠A=90ｏ，∠PDQ=90ｏ

∴四边形APDQ为矩形

又∵DP=AP=AB

∴四边形APDQ是正方形.

（1）根据S△ABD=  S△ABC进行解答

（2）①四边形APDQ的面积不会随旋转而变化，因为无论旋转角为 ()怎样旋转，始终是△BPD≌△AQD，即四边形APDQ的面积等于S△ABD

②证得四边形APDQ为矩形，又因为DP=AP=AB，即可得出结论