Question

如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．

（1）求证：AD平分∠CAE；

（2）若DE＝4cm，AE＝2cm，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明：连接OD，

∵OD＝OA  ∴∠ODA＝∠OAD    ………… 1分

∵DE是⊙O的切线

  ∴∠ODE＝90° OD⊥DE    ………… 2分

又∵DE⊥EF   ∴OD∥EF   …………… 3分

   ∴∠ODA＝∠DAE    ∴∠DAE＝∠OAD  ∴AD平分∠CAE. ………… 5分

(2)【解析】
连接CD  ∵AC是⊙O直径   ∴∠ADC＝90°………………… 6分

由（1）知：∠DAE＝∠OAD  ∠AED＝∠ADC 

∴△ADC∽△AED    ∴             ………………… 7分

在Rt△ADE中，DE＝4  AE＝2  ∴AD＝     ………………… 8分

∴  ∴AC＝10               ………………… 9分

∴ ⊙O的半径是5.                          ………………… 10分

【解析】（1）连接OD，得出∠OAD=∠ODA，再证明∠EAD=∠ODA，得出结论；

（2）连接CD，证明△AED∽△ADC，根据勾股定理和相似三角形的性质求出半径．