Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点Ａ坐标为（2，4），直线x＝２与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x²从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．

1.求线段OA所在直线的函数解析式

2.设抛物线顶点M的横坐标为m,

  ①用m的代数式表示点P的坐标；

  ②当m为何值时，线段PB最短；

3.当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

1.设所在直线的函数解析式为，

∵（2，4），

∴, ,

∴所在直线的函数解析式为.------------------2分

2.①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，

 ∴（0≤≤2）.                                     

∴顶点的坐标为(,).

∴抛物线函数解析式为.

∴当时，（0≤≤2）.

∴点的坐标是（2，）  -------------------------------4分

②  ∵==， 又∵0≤≤2，

∴当时，PB最短.   -------------------------------6分

3.当线段最短时，此时抛物线的解析式为.

假设在抛物线上存在点，使.

设点的坐标为（，）.

①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，

∵，，

∴，∴，∴点的坐标是（0，）. -------------------------------7分

∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.

∵，∴点落在直线上.∴=.

解得，即点（2，3）.∴点与点重合. -------------------------------8分

∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.

②当点落在直线的上方时，

作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，

∵，∴，∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），

∴直线函数解析式为.-------------------------------9分

∵，∴点落在直线上.

∴=.-------------------------------10分

解得：，.

代入，得，.

∴此时抛物线上存在点，--------------------11分

使△与△的面积相等. 

综上所述，抛物线上存在点，

 使△与△的面积相等.  -------------------------------12分

【解析】（1）由于直线OA是正比例函数，根据点A的坐标，即可确定该直线的解析式．

（2）①根据直线OA的解析式，可用m表示出点M的坐标，进而可表示出平移后的抛物线解析式，然后将x=2代入平移后的抛物线解析式中，即可得到点P的坐标；

②点P的纵坐标即可为线段PB的长，可利用配方法求得PB的最小值及对应的m的值

（3）若△QMA的面积与△PMA的面积相等，则P、Q到直线OA的距离相等，此题分两种情况讨论：

①过P作平行于OA的直线，易求得此平行线的解析式，联立抛物线的解析式即可求得点Q的坐标；

A点的上方截取AD=PA，同①过D作直线OA的平行线，先求出此平行线的解析式，然后联立抛物线的解析式求得点Q的坐标．