Question

推理证明（本小题满分6分）

如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点， ÐDOC=2ÐACD=90°.

（1）求证：直线AC是圆O的切线；

（2）如果ÐACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长.

Answer

（1）见解析（2）4

【解析】（1）证明：

∵2∠ACD=90°，

∴∠ACD=45°                           

∵∠DOC=90°，且DO=CO，

∴△OCD为等腰直角三角形，∠OCD=45°  

∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°

∴直线AC是⊙O的切线．                 

（2）【解析】
连接BO，

∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，

∴∠DCB=30°，∴∠DOB=60°，            

∵DO=BO，

∴△BDO为等边三角形，                   

∴BD=OB=4．                             

（1）利用切线的判定定理求出∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°，即可得出答案；

（2）利用圆周角定理得出△BDO为等边三角形，即可得出答案．