Question

深化理解（本小题满分9分）

如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是轴上的一个动点，M是线段AC的中点.把线段AM进行以A为旋转中心、向顺时针方向旋转90°的旋转变换得到AB.过B作轴的垂线、过点C作轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交轴于一点E.

设A点的横坐标为，

（1）若=3，则点B的坐标为   ▲   ，若=-3，，则点B的坐标为   ▲   ；

（2）若＞0，△BCD的面积为，则为何值时，？

（3）是否存在，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（5, 1.5  ） ，  （-1, -1.5  ）；（2）  （3），理由见解析

【解析】（1）（5, 1.5  ） ，  （-1, -1.5  ）；            

（2）①当时，如图（1）

△AOC∽△BEA且相识比为  

求得点B的坐标为（，）         

∴ 

解得                         

②当时，如图（2）

解得       

∴

（3）①当时，如图（1）

若△AOC∽△CDB

∴  即：   

∴无解

若△AOC∽△BDC，同理，解得 

②当时，如图（2）

若△AOC∽△CDB，

∴  即：

解得，取

若△AOC∽△BDC，同理，解得无解  

③当时，如图（3）

若△AOC∽△CDB

∴  即：

解得   

若△AOC∽△BDC，同理，解得无解

④当时，如图（4）

若△AOC∽△CDB

∴  即：  

∴无解 

若△AOC∽△BDC，同理，解得

∴

（1）根据勾股定理和对称性求解

（2）求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；

Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上．

（3）通过B点所在的不同位置，分四种情况解答