Question

如图，在直角坐标平面中，O为原点，A（0，6），B（8，0）。点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AO方向运动，点Q从点B出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向运动，P，Q两动点同时出发，设移动时间为t（t＞0）秒．

（1）在点P，Q的运动过程中，当点P在AO的延长线上时，若△POQ与△AOB相似，求t的值；

（2）如图2，当直线PQ与线段AB交于点M，且时，求直线PQ的解析式；

（3）以点O为圆心，OP长为半径画圆⊙O，以点B为圆心，BQ长为半径画⊙B，讨论⊙O和⊙B的位置关系，并直接写出相应t的取值范围．

Answer

（1）据题意，t秒时AP=2t，BQ= t，OP =，OQ= 8+t 。

若△POQ∽△AOB，则，即，

解得，                                       

若△POQ∽△BOA，则，即

解得，                                    

∴当或25时 △POQ与△AOB相似．           

（2）过M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为N、G．

根据题意得PO//MN，∴△BMN∽△BAO    ∴

∵     ∴        ∴     ∴ MN=1

同理 MG=     ∴ M（，1）             

∵ OQ= 8+t    ∴ NQ=

由△QMN∽△QPO得：，即。

解得：，或者t=0（舍去）

∴ P（0，）                                 

∴PQ直线解析式：                   

（3）当且t≠3时，两圆外离；当时，两圆外切；当时，两圆相交；当时，两圆内切；当时 两圆内含．

【解析】(1) △POQ∽△AOB,分两种情况进行讨论；

（2）过M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为N、G．利用△BMN∽△BAO得出，从而得出MN的长，同理可得MG的长，得出M点的坐标，同理求出P点坐标，然后再求出PQ的解析式；

（3）对t进行分段讨论。